С Новым годом, уважаемые форумчане!
Вижу, Неомарксист уже проявил активность. Значит, «наш брат» постепенно отходит от праздников, что позволяет и мне формально оправдать «явление народу» своего навязчивого присутствия. Что я с удовольствием и делаю (пока дачу засыпает снегом).
….......
igrek писал(а):
А_Ланов писал(а):
Вот и приведите пример.
...Если Вы ожидаете формулы, то её нет.
Видимо, так и не дождусь (с прошлого года жду
).
Придётся самому, но сначала немого философии:
«Что такое, товарищи, геометрический объект? И какой объект, товарищи, можно отнести к геометрическим?» - примерно так, наверное, начал бы свою речь незабвенный комбинатор на заседании какого-нибудь «клуба любителей геометрии». Однако, за сим с героем Ильфа и Петрова распрощаемся, ибо дальше, не исключено, последует описание глупостей, кои, как известно, следует творить исключительно «с умным выражением лица».
Итак.
Фундаментального — философского - определения геометрического объекта (далее ГО) вы вряд ли найдёте. Наверное, потому, что нуждаются в нём лишь "философы от геометрии" (вроде нас с вами). Причина сего в отсутствии дефиниций у понятия Протяженности - фундаментального геометрического понятия. Несмотря на его буквальную очевидность, никто не умеет объяснить, что это такое. Всяко-разных ни к чему не обязывающих деклараций (аки «ленинских определений» и прочих тавтологий) полно. А всё то, что хоть как-то тянет на «определение», присутствует, в основном , в виде формулировок "утилитарной" направленности - для черчения и прочих практических дисциплин. Объяснение этому «феномену» простое — представьте себе, существуют понятия, в принципе не требующие каких-либо дефиниций. На первый взгляд автор слишком много на себя берёт, но всё вполне объяснимо. Пока я пройду мимо, поскольку это несколько иная тема (хотя и связанная с геометрией).
Ошибка не будет сколько-нибудь существенной (если вообще будет), если отнести к геометрическим объектам всё то, что несёт в себе геометрическую же суть, заключающуюся в наличии в них «очевидной» Протяженности, некоторым образом упорядоченной. Отрезок, луч, угол, треугольник и пр. - все эти ГО различаются меж собой именно разной упорядоченностью - у каждого из них сугубо свой порядок "устроения".
Но, имеется и кое-что общее. Всякое определение ГО задаётся через понятие "множества точек", а именно - множество точек некоего пространства. Любой ГО является множеством точек геометрической среды - пространства. При этом сама точка в геометрии определяется как "нуль-мерный" объект - сейчас это самое расхожее определение, полагаю, из-за того, что аналитически оно самое удобное (ниже покажу, почему). Однако, мне оно не нравится, ибо приучает к кажущейся возможности существования того, что на самом деле сути не имеет. Понятие "нуль-мерный объект" через отсутствие в нём протяженности как раз и означает отсутствие у него геометрической сути - того, что, собственно, и подлежит упорядочиванию. Чтоб было понятнее, геометрически «нуль-мерного объекта» не может быть так же, как не может быть "нулевой зарплаты".
Даже утверждение
"Нет сути у того, чего нет" - своего рода оксюморон, ибо нет самой возможности хоть какого-то описания или отношения к тому, чего нет. По этой причине, кстати, во многих древних системах исчисления отсутствовал Ноль — нельзя же дать название тому, чего нет, верно? Поэтому римская, греческая, вавилонская системы исчисления начинались сразу с единицы. Исключение составляла система исчисления древних инков. Но и у них Ноль означал не число, а «начало».
Однако, как известно, инки сгинули. А в нашей части планеты Ноль придумали индусы. Им пришло в голову совместить преимущество китайского способа записи цифр с преимуществами вавилонской разрядной формы записи чисел. А чтобы как-то отличать, например, 12 от 1_2, они придумали «нолик» - чтобы «не проглядеть» пустующий разряд. Получилось 102. (Однако, есть ещё одно предположение, что Кука съели... (зачёркнуто), что нолик придумал Птолемей. Сам он в своих расчетах пользовался вавилонской системой исчисления. И чтобы не ошибиться с пустыми разрядами, вписывал в пустующие места буковку «О» - первую букву какого-то слова, по-гречески обозначавшего «пустоту». Индусы у него и подсмотрели).
Но даже у индусов Ноль числом всё равно не считался. Отношение к нему было примерно как к пустому стакану - ёмкость есть, а содержимого в нем нет. В начале 2-го тысячелетия эта, ныне привычная система исчисления попала в Европу - её принесли арабы в процессе своих завоеваний в Индии. Но и в «европах» Ноль как число приживался очень трудно. Обозначать "отсутствие" - это же в голове не укладывается! Окончательно Ноль как число был «допущен» математиками (не падайте) аж в 17-м веке! И то, благодаря стараниям Эйлера. Вообще, это весьма интересная и поучительная история (поинтересуйтесь на досуге).
Применительно к данному «повествованию» ограничусь тем, что благодаря Нулю "несуществующая суть" становится вполне применимой логически. Например: "нулевая зарплата это зарплата, равная Нулю". Такая «дефиниция» несуществующей сути позволяет использовать её и математически. В этом, на мой взгляд, и состоит причина распространённости выше озвученного определения точки. (Увы, человечество всё дальше уходит от стремления понимать суть, удовлетворяясь одним лишь умением обрабатывать информацию — мудрость мы променяли на знание, а знание меняем на информацию).
Полагаю, что всё изложенное в достаточной мере объясняет, почему определение точки, приведенное в старых советских учебниках, является более верным. Точка там определена как
"...место в пространстве, имеющее координаты, но не имеющее размеров". Согласитесь, «место в пространстве» это совсем не «геометрический объект». Тогда и определения геометрических объектов - объектов, обладающих протяжением в пространстве (не важно, какой мерности) начинают звучать более правдиво. Сравните два варианта определения окружности — «по-новому» и «по-старому»:
Вариант 1:
Окружность это геометрический объект, множество нуль-мерных объектов которого равноудалены от данного нуль-мерного объекта"Вариант 2:
Окружность это геометрический объект, множество мест которого равноудалены от данного места.Согласитесь, второй вариант понятнее и не сбивает с толку несуществующей сутью - "нулевой" мерностью. К тому же, подкупает тем, что определяемый ГО в этом варианте определяется через совсем другое понятие — через «место», а не через всё то же понятие ГО, к тому же "нуль-мерного" = «несуществующего».
Идём дальше.
Понятно, что словосочетание «место в пространстве» не имеет смысла без самого пространства. Это оказывается справедливо и в отношении любых геометрических объектов, кои априори являются определенной совокупностью мест геометрического пространства. Окружность вне плоскости принципиально невозможна. Если есть окружность, значит, априори она в плоскости, ибо является её частью как совокупность её мест.
При этом само определение ГО, как множества точек пространства, одновременно является и заданием его в пространстве, что вполне может быть выражено математически.
Вернёмся к определению окружности. Окружность это вид линии, она является одно-мерным ГО, расположенным в дву-мерном пространстве, поскольку окружность возможна лишь как множество мест именно такого пространства именно такой мерности — дву-мерной плоскости. То же самое определение, но уже в 3-мерном пространстве, даст не окружность, а уже сферу — дву-мерный ГО в 3-х мерном пространстве.
Теперь обратим внимание на такой ГО как прямая. Вы уверяете, что прямой не обязательно быть в плоскости, чтоб быть. Допустим. Но если прямая это множество точек, то сразу вопрос — точек чего? Если самой прямой, то следующий вопрос - что такое прямая? В случае задания прямой как множества точек самоей себя, её «определение» звучит так: «прямая это множество точек прямой». Определение через определяемое понятие - «тавтология» — не наш метод (мы же жутко придирчивые, тем более, что ничего не дает и ничего не определяет).
Но, прямую можно рассматривать и как одно-мерное пространство для описания вложенных в него других ГО, принадлежащих прямой. В последнем случае, вышеприведенное определение окружности выродится в две точки на прямой, равноудаленных от некоторой данной, принадлежащей этой прямой — мы получим «нуль-мерную окружность», состоящую из всего двух точек на прямой - «нуль-мерных» объектов в 1-мерном пространстве.
Аналогично, можно рассмотреть то же определение и в трёх-мерном пространстве. Тогда множество мест, подчиненных описываемому порядку, окажется сферой - дву-мерным ГО, для существования которого требуется пространство с мерностью хотя бы на одну мерность большей.
Таким образом:
1. Любой геометрический объект не может существовать без пространства по факту своей геометрической сути — как множества мест пространства. Пространство первично, геометрический объект - вторичен.
2. Любой геометрический объект не может быть описан изнутри самого себя в той же мере, в которой неприемлема тавтология (что математически доказано леммой из известной теоремы Гёделя - «невозможно определить наличие системы или её отсутствие, являясь её частью).
3. Мерность геометрического объекта определяется мерностью пространства (следствие из п.1).
Последнее утверждение, кстати, соответствует «бытовому» смыслу теоремы Пуанкаре, из которой следует, что наш мир - Вселенная со всеми её физическими явлениями, может быть полностью описана из 4-х мерного пространства исходя из предположения о нашем Мире как 3-мерной сфере - геометрического объекта 4-мерного пространства, множество точек которого равноудалены от данной.
В качестве примера — «долгожданные» уравнения разно-мерных пространств:
Общее уравнение плоскости (дву-мерного пространства): Ах+Ву+Сz+Const=0
Общее уравнение прямой (одно-мерного пространства): Ах+Ву+Const=0
Общее "уравнение" точки (нуль-мерного пространства): Ах+Const=0
Легко заметить, что "мерность" описания любого из геометрических объектов (в нашем случае - пространств разной мерности) оказывается на одну больше, нежели мерность самого объекта.
Перечень примеров задания пространств может быть продолжен и в сторону большей мерности. Например, наше трёх-мерное пространство в соответствии с теоремой Пуанкаре может быть задано таким же образом относительно 4-мерного пространства:
Ах+Ву+Сz+Dw+Const=0 — если наше пространство «плоское»
X2+Y2+Z2+W2 = R2 – если наше пространство является 3-мерной сферой (чего сами мы «изнутри» понять не можем)...
(Х2 - означает "ИКС в квадрате")