malchish.org

Ок. Положим это в основу дальнейших рассуждений. Но пока надо кое-что уточнить.Вот рисунок такого "треугольника" на сфере:

Для вас, полагаю, не будет открытием, что сей "треугольник" образован не отрезками эвклидовых прямых (как это задано в определении треугольника), а евклидовыми же, но дугами? Если же вы считаете, что дуги это "искривленные прямые", то не вопрос! Продолжим эту логику:

Все эти "треугольники" образованы "искривленными прямыми" - с положительной (А), отрицательной (В) и смешанной (С) кривизной.
Дальше - больше: раз так, можно эти же рассуждения положить и в обоснование "угольности" следующих фигур:

D - "треугольник" со стороной переменной кривизны
E - "треугольник" со всеми сторонами переменной кривизны
F - "дву-угольник"
H - "дву-угольник" с суммой углов, равной Нулю ("неугольный дву-угольник")
J - "одно-угольник"

Найдите ошибку в логике.
А ошибка проста - допущение искривленности прямой, и вслед за этим и искривленных треугольников. Это, что касается понятий.

Теперь в отношении несамостоятельности не евклидовых геометрий.
Я утверждаю, что все они без исключений не могут существовать самостоятельно - то есть, вне евклидовой геометрии. Все, так называемые "не евклидовы геометрии" являются её составной частью по той причине, что их геометрические законы задаются относительно евклидового пространства. Евклидова геометрия в этом плане оказывается "средой существования" т.н. не евклидовых геометрий. Но тогда и всё, что ей принадлежит, должно описываться "евклидовыми средствами", и не надо выдумывать никаких "искривлений".

Обратите внимание на первый рисунок. Я там специально нарисовал плоскость, в которой задается (или измеряется) угол при вершине "треугольника". Касательная к двум сторонам плоскость и угол в ней (он же "угол при вершине кривого треугольника"), как видите, задается в евклидовой геометрии, а не на поверхности сферы, которую пытаются представить "искривленной плоскостью". Равно как и "стороны" этой фигуры являются пересечениями евклидовых плоскостей с евклидовой же сферой.

Поэтому вердикт тут однозначный: выводы на основании умозрительности не самые верные - не стоит давать иное понимание тому, что уже давно определено. Не надо считать "искривленной плоскостью" то, что является самой настоящей евклидовой сферой. Соответственно, и фигуру на ней не стоит считать треугольником.


Минуточку!
Из вашей фразы следует, что 5-й постулат есть следствие выбора линейности мат. описания, я правильно понял? То есть, иными словами, данный постулат вытекает из линейности уравнений, описывающих конкретно один - линейный вариант геометрии (называемый чаще евклидовой). Но если этот постулат сам по себе есть следствие, то уже по одной этой причине он не является таким же первоначалом, как аксиомы - у них нет никакой аналитической предыстории. Почему тогда его считают недоказанным, не смотря на наличие аналитического вывода? Может, аналитическое доказательство в геометрии "не считается"? Но, извините, есть же аналитическое доказательство той же теоремы Пифагора - почему нет? Я не претендую на роль "первооткрывателя", мне интересно - почему так?
Почему? Меридианы - да. Но есть ещё и параллели - одно их название говорит само за себя.Им и объяснять ничего не потребуется - в ихнем мире они будут жить на плоскости.

Вот так это будет выглядеть для нас (пунктиром - линия визирования):


А так - для них:

Принимается.
Но геометрия всё равно не имеет определения.А что такое "алгебраическое подтверждение"? Это математическое обоснование - геометрическая формулировка постулата вытекает из его математического описания. У постулата есть математическое описание - что ещё требуется?

Для Вас, видимо, будет открытием, что на римановой поверхности все фигуры римановы и евклидовых там быть не может. Прямых там тоже быть не может, аналогом прямой там служит геодезическая линия, то есть имеющая наименьшую длину между двумя точками. Но двумерные жители этого пространства об этом не знают и считают эти линии прямыми.

Я так не считаю. В случае треугольника на сфере это не дуги, а геодезические линии.

Это не треугольники. Треугольники образуются не из кривых, а из геодезических линий, и на плоскости Вы можете нарисовать не треугольники, а их искажённые проекции.

Нет, ошибка в том, что Вы перепутали геодезические линии с кривыми. Все эти кривые треугольники Вы рисовали на плоскости. А на плоскости геодезические линии всегда прямые, кривым треугольник быть не может.

Однако житель сферы не знает, что он живёт на сфере и думает, что живёт на плоскости. И считает эту фигуру треугольником.

Неправильно. Если я выбрал женщину, у неё будут сиськи. Это не значит, что сиськи есть следствие выбора женщины. Они будут независимо от моего выбора.

То есть пятый постулат не является ничьим следствием, он ниоткуда не выводится. Это свойство евклидова пространства в отличие от прочих пространств, как сиськи есть свойство женщин, отличающее их от остальных людей. Выбор линейности мат. описания означает и выбор евклидова пространства, свойством которого (не следствием) является пятый постулат.

Можете смеяться вместе с Грибником, но на глобусе параллели не параллельны. Они параллельны только на плоской карте, причём исключительно в равноугольных проекциях. А на сфере параллельных линий быть не может.

Здесь Вы показали не двумерных жителей сферы, а трёхмерных, живущих на сфере. У настоящих жителей двумерной поверхности не могут быть линии вне этой поверхности. И параллельных там они никогда не увидят.

Ну, например, нельзя доказать, что площадь квадрата равна 1 кв.м. Просто потому, что квадрат может быть и большей, и меньшей площади. Но возьмём квадрат площадью ровно 1 кв. м — произвольно, по нашему желанию. Мы можем измерить длину стороны и алгебраически показать, что его площадь будет 1 кв.м. Мы не доказали, что площадь квадрата равна 1 кв.м, потому что она была задана таковой изначально. Но мы получили алгебраическое подтверждение.

Я уже объяснял. Чтобы пятый постулат стал теоремой, его нужно доказать, используя только четыре первых постулата.

...странным образом, совпадающая с евклидовой дугой и описываемая уравнением окружности - без всякой, заметьте, необходимости изобретения иных способов описания. Совершенно верно! Только не считают прямыми, а видят прямыми. И физика их искривленного мира им это подтверждает - при движении по таким геодезическим линиям с постоянной скоростью, никаких боковых ускорений, вроде центростремительного, не возникает. И центробежными силами их вправо-влево при этом не швыряет. Для них это 100%-я прямая. Только мы, из пространства с евклидовой геометрией, в которое вложен их искривленный мир, можем видеть их "искривленность".
А теперь представьте, что никакого "внешнего" по отношению к ним мира нет - они одни со своей геометрией, которая никуда не вложена. Вам не кажется, что в таком случае пропадает смысл считать их геометрию искривленной? Сами себя они ощущают "евклидовыми", а никакого иного взгляда на их мир в данном случае быть не может принципиально. Относительно чего тогда может быть задана их искривленность?
Поэтому для всех "кривых геометрий" должна быть геометрическая же среда, относительно которой задается это искривление. А это означает, что самостоятельно - без вложения в некую "базовую" геометрию - "кривые" геометрии существовать не могут. Но поскольку их описание задается в базовой геометрии, они становятся её частью. Потому и не удивительно, что на плоскости, сжатой и искривленной так, что она становится видима как сфера, все геодезические линии оказываются евклидовыми дугами, и влегкую описываются из внешней - евклидовой геометрии.Речь, похоже, уже о другом - о принципе. "Пятый постулат не является ничьим следствием, и ниоткуда не выводится" А то, что я привел в "доказательстве" - это тогда что? Описание чего, если не свойств линейных уравнений? У пятого постулата, с учетом моего "доказательства", с которым вы не спорите, оказывается два вида изложения, две формулировки - геометрическая (в нашем случае формулировка Прокла) и алгебраическая - как невозможность двух и более уравнений первого порядка, удовлетворяющих условию несовпадения меж собой и не имения общих значений с третьим уравнением. При этом геометрическая формулировка объяснения не имеет, а аналитическая, получается, имеет. Но если это одно и то же, то почему аналитический способ объяснения нельзя признавать именно в отношении пятого постулата, при том, что, вся остальная геометрия полнится алгебраическими доказательствами геометрических утверждений (теорем)? С чего такое исключение из правил? Параллели это линии, не пересекающиеся меж собой и эквидистантные друг другу. Если это считать признаком параллельности, то его можно отнести не обязательно к прямым. Концентрические окружности тоже в таком случае параллельны.Я всего лишь распространил искривление на третье измерение - для лучшести понимания. Распространение света там тоже "закручивается" вокруг сферы.Очень неудачный пример. Я привел математические преобразования в общем виде. А вы - арифметическую проверку частного случая.
Не зачОт.
То есть, вы всё-таки считаете, что доказательство в геометрии может быть только геометрическим - аналитический способ в геометрии "не засчитывается"? Если так, то вы правы - надо доказывать 5-й постулат исключительно через первые 4-е аксиомы. Но, повторюсь, в геометрии полно примеров именно аналитического доказательства - через математические формулы, а не через геометрические построения и преобразования. С ними как быть? Тут либо трусы надо надевать, либо крестик снимать...

Не кажется, потому что только искривлённостью они смогут объяснить себе невозможность существования в их пространстве параллельных прямых, а также сумму углов треугольника больше 180 градусов.

Аналитическая тоже не имеет, только констатирует.

Но это не параллельные прямые. Параллельных прямых на сфере быть не может.

В общем виде было бы, если бы Вы написали обобщённые уравнения сразу для всех видов пространств — Евклида, Римана, Лобачевского. А у Вас только для Евклида — и это частный случай, как квадрат единичной площади.

Аналитический тоже засчитывается, только предъявите его не для линейных уравнений, применимый лишь к евклидовой геометрии, а для обобщённых, где линейные — лишь частный случай.

Вы так рассуждаете потому, что смотрите на сжатое и искривленное риманово пространство (сферу) из евклидового. Между тем, будучи получено афинными преобразованиями из евклидового (сжатиями и искривлениями), риманово пространство сохраняет такие базовые свойства евклидового пространства как, например, бесконечность. При этом, глядя на риманово пространство из евклидового - в евклидовой же метрике - сфера окажется конечной. А для тамошних жителей - жить они будут на плоскости, а расстояние до того места, которое нам видится как полюс, для них будет бесконечным, и потому те кривые отрезки, которые мы считаем сторонами "кривого треугольника", для них будут всего лишь бесконечными прямыми лучами, ортогональными некоей линии, которую мы видим как экватор.Тогда любое логическое или математическое и ещё какое-либо решение (включая и теорему Пифагора) - тоже всего лишь "констатации". Для нас.
А для тамошних жителей - запросто. То, что нам видится окружностями (параллели) для них - прямые (может даже бесконечные). Так, вообще, все геометрии - и Евклида, и Римана, и Лобачевского - это всё "частные случаи". У каждой свой - "частный" - набор аксиом. Получается, вы требуете, ни много ни мало, общую аксиоматику на все возможные случаи всех возможных геометрий.

И потом, я вообще не ставил целью что-то там доказывать в геометрии. Моей целью был вполне частный алгебраический случай:

1) определить, при каких параметрах k и b уравнения первого порядка не будут иметь общих значений во всем диапазоне значений аргумента,
2) определить возможность существования более одного уравнения первого порядка, имеющих хотя бы одно общее значение и одновременно не имеющих общих значений с неким третьим уравнением того же порядка.

Вот и всё.
Где вы тут Евклида увидели? Равно как и Римана с Лобачевским? Другое дело, что "странным образом" выведенные требования к указанным выше параметрам k и b имеют и другую - геометрическую формулировку, известную как формулировка Прокла, она же "пятый постулат Евклида" (вид сбоку). Но как должны влиять на этот математический факт всяко-разно-придуманные "иные геометрии"? Математика, как дисциплина, основанная на наборе своих математических аксиом, она одна и та же везде, независимо ни от чего включая и геометрии, и физики, и биологии и пр.. И одинаково достоверно описывает все геометрии, не зависимо от их частной аксиоматики. Но следует ли из того, что если в какой-то из геометрий не выполняется Пятый постулат (а если честнее, то мы так решили, что он не выполняется), то вышеупомянутые выкладки с уравнениями первого порядка следует считать неверными? Геометрия диктует, какой быть математике?

Смотрите, что получается:
- евклидова геометрия с её "пятым постулатом" не противоречит свойствам уравнений первого порядка, которые сами по себе от геометрии (от её наличия или отсутствия) вообще никак не зависят, и к геометрической аксиоматике совершенно фиолетовы.
- все иные геометрии, отрицающие или модифицирующие "пятый постулат", вступают с указанными свойствами уравнений первого порядка в противоречие - фактически, в противоречие с математикой.

Получается, что из всех геометрий, только одна - евклидова - не противоречит математике ни в чём.
Все остальные - противоречат как минимум описанным свойствам линейных уравнений.
Какой вывод? Все эти "остальные геометрии" как минимум некорректны...С учетом вышеизложенного получается, что аналитическое доказательство частное всего лишь потому, что применимо только к евклидовой геометрии. На самом деле всё наоборот - иные геометрии противоречат аналитическому доказательству, которое к геометриям инвариантно.

Иными словами, предположение о возможности геометрий с несоблюдением в них "пятого постулата" сродни несоблюдению в них таблицы умножения - для каждой геометрии своя таблица умножения.

Вы ошибаетесь.
Это параллельные окружности. Они параллельны и не пересекаются...
В последующем вашем сообщении вы высказались вполне корректно:
"Но это не параллельные прямые. Параллельных прямых на сфере быть не может."
Конечно не прямые, кто бы спорил!

Извините, придрался, но вашу дискуссию с Алановым читаю с удовольствием.

Но непересекающихся прямых из этих лучей они получить не смогут.

Нет. Для них прямая — это линия, имеющая наименьшую длину при соединении двух точек (геодезическая линия). На сфере из всех параллелей этому условию удовлетворяет только экватор. Остальные параллели будут для них окружностями с очень большим радиусом (а около полюсов даже и с маленьким). Прямыми для них будут ещё и все меридианы.

Естественно, иначе доказательства не будет, а будет только исследование одного частного случая с заранее известным результатом.

Все возможные геометрии, для которых работают первые четыре постулата, делятся на три вида: евклидова, риманова и Лобачевского. Остальные — комбинации этих трёх. Аксиомы для них общие все, кроме пятого постулата. Если Вы возжелали доказать пятый постулат, придётся либо доказывать его в обобщённом для всех трёх геометрий виде, либо доказать его для каждой из них в отдельности — что, вообще-то, невозможно по их определению этого постулата. Вы доказали его для одного частного случая, это не доказательство постулата. По сути, Вы купили жёлтого петуха и доказали, что он жёлтый. Доказали убедительно, спору нет. Но это не доказывает того, что все петухи жёлтые.

В уравнениях. Это уравнения прямой на плоскости, то есть в евклидовом пространстве.

Не следует, я уже говорил об этом. Доказательство верное. Только это не доказательство пятого постулата.

Нет. Вывод: для каждой их них требуются свои уравнения. И они, кстати, есть, только сильно не похожи на линейные.

Именно так.

К примеру: 2x2=4. Настолько всем известная истина, что это даже повод для шуток, если кто-то в ней сомневается.

И тем не менее 2x2=11. Как? В троичной системе счисления. Для каждой системы своя таблица, как для каждой геометрии свой пятый постулат. Вы легко сможете доказать 2x2=4 для случая десятичной системы, но доказать это для всех случаев сразу невозможно. То, что Вы сделали — это доказательство только для десятичной системы. Пока Вы не докажете это для остальных систем, постулат останется недоказанным. А Вы не сможете это доказать, как не сможете доказать, что в троичной системе 2x2=4.

И да, я знаю, что 4 в десятичной — это то же самое, что 11 в троичной. И тем не менее таблицы умножения разные.

Не знал, что бывают параллельные кривые. Узнал хоть что-то новое из этой дискуссии, в остальном довольно бессмысленной.

Во-первых, лучи это стороны "кривого треугольника", которые расположены вдоль меридианов.
Во-вторых, точка пересечения лучей (полюс) в их восприятии находится в бесконечности. То есть, они параллельны.Согласен. Спасибо за уточнение. Вот именно! Первых четырех аксиом для задания геометрии недостаточно. Все варианты геометрий так или иначе нуждаются в пятом постулате. Причём, в каждой из трёх геометрий своя формулировка, которая противоречит формулировкам других вариантов геометрий - либо одно, либо другое, либо третье (по числу всех возможных вариантов - одна параллельная; ни одной параллельной; больше одной параллельной). Постулат нельзя доказать ввиду того, что он постулат "по-определению"?

Напомню, споры вокруг 5-го постулата как раз и ведутся из-за сомнений - он правда постулат? Или, может, он теорема?
Но если вы требуете доказательства постулата, значит, априори подразумеваете, что это теорема. При этом нет ни одной теоремы, которая была бы "в общем виде" - каждая о чем-то конкретном. Я уже вам писал, что та же теорема Пифагора справедлива для весьма узкого набора геометрических условий - частного случая геометрических ограничений. Так что, оставьте мечты о "всеобщем общем виде" - доказательство всегда конкретно. Доказывается утверждение, построенное на том, что "дано" (дано: прямоугольный треугольник). Вот это "дано" уже априори есть частный случай. В пятом постулате всё ровно то же самое:
Дано: прямая и точка вне её (частный случай расположения точки и прямой).
Требуется: определить возможное количество параллельных, через данную точку.
Аналитически определено: не более одной.

Но я понимаю, что вы от меня хотите. Следуя вашим требованиям, я должен так же доказать 5-й постулат для римановой и лобачевской геометрий. Только тут одна тонкость есть - в этих геометриях не может быть прямых, там есть геодезические линии. Соответственно, вместо "прямой" следует использовать понятие "геодезической линии". Поэтому уже на этой стадии рассуждений понятно, что использование понятий "прямая" и "параллельность" для аналога 5-го постулата в этих геометриях уже не корректны.

Корректно данный постулат в общем виде должен звучать так:

Через точку вне геодезической линии может быть проведено не более одной (более одной, ни одной - нужное подчеркнуть) геодезической линии, параллельной данной.

Опуская вопрос "что такое параллельные геодезические линии?", замечу, что это будет более общая формулировка 5-го постулата, относительно которого постулат Евклида оказывается лишь частным вариантом - для геометрии, в которой геодезические линии являются геометрическими прямыми.

Для прямых геодезических линий я это как бы доказал (будем так считать) математически. Я бы с удовольствием посмотрел на подобные выкладки и для "кривых, параллельных данной" (при том, что есть сомнения в корректности самого понятия параллельности для кривых). Может, возьмётесь?

Впрочем, можете не трудиться. Предположим, что математически всё это описано в более общем виде через формулы, соответствующие в геометрии заданию кривизны геодезическим линиям, благодаря которым евклидовы прямые окажутся лишь частным случаем (кривыми с нулевой кривизной).

Но тогда следует методом математических преобразований (подобно тому, как это изложено мною) найти решение вопроса в отношении возможности, расположения и количества геодезических линий, и через это узнать как они между собой соотносятся - пресекаются или нет? То есть, не продекларировать, а вычислить, используя математический аппарат!

Но в той же римановой геометрии ничего этого не исследуется! Там всё априорно провозглашено - без каких-либо попыток выяснения через математику. Я понимаю, если бы математически исследовали разные варианты - для геодезических линий положительной, отрицательной и нулевой кривизны, и для каждого такого случая ВЫВЕЛИ бы, что и как должно быть в геометрии римана и лобачевского. Тогда, кстати, стало бы понятно - корректно ли вообще заданы аксиомы этих геометрий? Может, то, что провозглашено принципиально невозможно? Я уже молчу про использование в их "5-ых постулатах" понятия "прямых", которых там не может быть "по-определению".

На этом пока прервусь (извините за некоторый сумбур - спешу очень)

И тем не менее: если все в математических преобразованиях верно, то как минимум один частный случай доказан - для геометрии с нулевой кривизной.

Как это в бесконечности, если расстояние до неё имеет конечную величину, и время путешествия до неё конечно? Но даже и не надо добираться до точки пересечения: по мере движения в её сторону расстояние между прямыми с первых же шагов будет уменьшаться. Невозможно будет провести две прямые так, чтобы расстояние между ними оставалось постоянным.

Нет, я не так сказал. Не он постулат «по определению», а определение постулата в разных геометриях не совпадает. Есть три постулата для трёх разных геометрий, и невозможно какой-то один постулат доказать сразу для всех геометрий. Можно только для одной, что Вы и сделали. Но это не будет доказательством постулата вообще, потому что для других геометрий доказательство не работает.

Корректно будет, если заменить «параллельной данной» на «непересекающейся с данной». Потому что непересекающиеся могут и не быть параллельными.

Я не сомневаюсь, что аналитически можно доказать постулаты и для двух других частных случаев. В одном случае невозможность получения непересекающихся линий, в другом бесконечное множество. Единственное, чего нельзя сделать — доказать какой-то один постулат для всех трёх случаев.

Могу предложить шестой постулат, который верен для всех трёх геометрий: Евклида, Лобачевского и Римана.

Все прямые проведённые через бесконечно удалённую точку вне данной прямой, будут параллельны данной.

Все факты о прямых проведённых через бесконечно удалённую точку теряются, они как бы находятся вне "горизонта событий" относительно заданной прямой, поэтому они никогда с ней не пересекутся.

А что это даст?

Если попытаться провести прямую через данную точку и бесконечно удалённую точку, то где-то между этими точками мы получим бесконечное множество геодезических линий, на которые распадётся прямая. Геодезические линии вновь сойдутся в одну прямую по мере приближения к бесконечно удалённой точке.

Таким образом, прямые на бесконечно удалённых расстояниях, обретают бесконечное множество комбинаций, состояний и позиций.

Здесь мы с вами опять возвращаемся в тему искривленных и сжатых пространств. Чтобы проще было объяснить, почему полюс в данном случае (для тамошних обитателей) будет находится в бесконечности, я слегка "визуализировал" объяснение, нарисовал объект - прямую на плоскости и человечков на ней для пояснения, что и почему с ними будет происходить в процессе сжатия.

Вот так выглядит прямая на евклидовой плоскости, если смотреть на неё из нашего евклидового пространства:


Вот так будет выглядеть та же плоскость, если её сжать по оси Х по закону бесконечно-убываемого ряда:




Видно, что для нас, как для внешнего наблюдателя, во-первых:
- плоскость стала конечной по оси Х: бесконечность оси Х превратилась в "конечность" с "видимой" шириной Lx = 4 метра (по 2 метра в обе стороны от начала координат);
- прямая искривилась - внешне она превратилась в четверть эллипса, поскольку в точках О и "бесконечность" по оси Х она касательна оси Х и оси Y соответственно. При этом человечки имеют разную видимую ширину при том, что сами они ничего этого не замечают. Для них ось Х всё такая же бесконечная - чтобы дойти до её "конца" им надо сделать бесконечное количество шагов, которые им кажутся одинаковыми, а нам - бесконечно уменьшающимися.

Если то же самое сделать и с осью Y, плоскость превратится в круг видимым диаметром 4 (метра):



Видно, что прямая вновь стала прямой, поскольку она сжата одинаково по обеим осям. Однако она так же сжата вдоль самой себя, как и каждая из осей. При этом человечки уменьшаются так же пропорционально - и ростом, и шириной.

Дальше мы афинно искривляем и "дожимаем" полученный круг в третьем измерении и получаем видимую сферу:



Для нас она конечна, с радиусом 2 (метра). Но для тамошних человечков она всё так же бесконечна в обе стороны - и вдоль меридианов, и вдоль экватора. Попытка дойти до полюса бесконечно уменьшающимся шагом потребует совершить бесконечное количество шагов и бесконечного же времени (равно как и дойти "до той стороны" сферы по любой параллели). Причём, для тамошних обитателей безразлично, из какой точки начинать движение. Всё равно в любую сторону им требуется сделать всё то же бесконечное количество шагов - либо сразу уменьшаемыми шагами, либо сначала увеличивающимися, потом уменьшающимися. Для них их искривленная плоскость останется евклидовой - плоской, равномерной, изотропной и бесконечной. Сферичности они не заметят.

Однако, вы утверждаете, что живя на сфере, это можно таки понять из того факта, что кратчайшее расстояние на сфере (геодезическая линия) всегда является дугой большого круга (который проходит через диаметр сферы), и она совпадает с параллелями и меридианами, вдоль которых произошло "сжатие" плоскости при превращении её в сферу, лишь в частном случае.

Хорошо, что вы подняли этот вопрос. Понятие "геодезичекой линии" является более общим, нежели прямая, дуга и пр. Прямая (отрезок) это всего лишь частный случай геодезической линии - конкретно, на плоскости. На сфере же кратчайшим расстоянием, действительно, будет дуга окружности с центром в центре сферы (в самолетовождении такая дуга называется ортодромией). Это легко можно увидеть даже на картах Яндекса, достаточно инструментом "линейка" измерить расстояние между, например, Анадырем и Лондоном - кратчайший путь окажется проложенным аж через Сев. полюс.

Но теперь более интересный вопрос применительно к нашей "сжатой" сфере: какая линия окажется наиболее короткой для обитателей сжатой сферы? Для нас, внешних наблюдателей, кратчайший путь с ихней "чукотки" в ихнюю же "лондощину" так же должен пройти через сев. полюс - по ортодромии. Но для "сферожителей" путь через полюс это путь в никуда - для них это всё то же бесконечное количество шагов. Да и никакого полюса в их жизни нет - их вселенная в их же восприятии это плоскость во все стороны бесконечная. Для них самым коротким путём окажется тот путь, который сжат минимально, и потому потребует минимального количества шагов. Если, например, обе точки лежат на одной параллели (как это видится нам), то самое меньшее число шагов, за которое можно перейти из одной точки в другую, будет находится на этой же параллели. Если же они пойдут по нарисованной для них ортодромии, то им придется сделать большее число шагов, а сам путь будет видеться им дугой. Если же точки лежат произвольно - разно-широтно и разно-долготно - то кратчайшим расстоянием для них окажется траектория, которая нам будет видеться как лаксодромия (кривая на поверхности Земли, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом), а для "сферожителей" - как прямая. Зато ортодромия окажется для них самой настоящей дугой - естественно, более длинной, чем прямая.

Для изотропной сферической поверхности таких проблем не возникнет. Там всё, что вы говорили про геодезические линии, справедливо. Но в таком случае она должна быть конечна, и это обстоятельство позволит жителям проверить свои догадки (например, пустив луч лазера вдоль поверхности и через некоторое время увидев его со спины). Если перейти от их плоской жизни в нашу реальность, то этот способ и нам подойдёт - как говорится, "дело техники" и "вопрос времени". Если мы живём на 3-мерной поверхности 4-мерной сферы, проблемы проверки этого предположения сводятся "лишь" к длительности ожидания возврата луча "с той стороны", сравнимой с возрастом Вселенной; и проблемой "источника питания" для накачки лазера, сравнимой со взрывом сверхновой (навскидку). При этом в отношении нас предположение, что мы живем на поверхности 4-мерной сферы с анизотропией поверхности, сродни описанной выше, так же справедливо и в той же мере. В этом случае для внешнего наблюдателя, обладающего 4-мерным восприятием, наша Вселенная будет иметь конечные размеры, в то время как для нас она будет всё такой же бесконечной...
......

Поднятые данной темой вопросы (как и тема расширения Вселенной) позволяют поставить вопрос самой возможности существования разных геометрий в отрыве от геометрии евклидовой - той, которую мы "исповедуем". Возможно ли (даже чисто математически) самостоятельное существование той же геометрии Лобачевского - иначе как "вложенной" в геометрию Евклида? И правомочно ли считать такую геометрию не частью геометрии Евклида? Даже в случае с анизотропией последняя задается относительно базового равенства Х' = X, которое обозначает отсутствие анизотропии. Любое задание степени анизотропии (например, X' = lnХ) уже по самому способу задания оказывается производной "евклидности".

Вышеприведенный пример призван показать, что без внешнего наблюдателя никакая искривленность и анизотропность пространства изнутри самой этой анизотропности восприняты быть не могут. Все примеры "кривых" геометрий являются таковыми исключительно благодаря заданию их параметров относительно геометрии Евклида, которая оказывается базовой платформой для любых "искривлений". В противном случае нет самой возможности задать искривление, и на примере "сферожителей" это продемонстрировано, я надеюсь, достаточно ясно.
Представьте, что нет никакой внешней геометрии, никакого внешнего мира - сфера, на которой они живут, одно-единственное пространство. Но тогда как им понять, что из себя представляет их мир? Не говоря уже о том, что сфера вообще не может существовать вне некоего внешнего пространства, в порядок которого она вложена, и которым описываема?

Однако, продолжим речь "за Пятый за постулат".
Можно согласиться. Особенно, если учесть, что изначально само "явление" параллельности действует исключительно в отношении прямых и их производных - лучей и отрезков. Для иных линий понятие параллельности не применимо. Поэтому пусть будут "не пересекающиеся геодезические линии".

Но тогда снова читаем 5-й постулат в формулировке Лобачевского и делаем предъяву уже ему: на каком основании он в своём утверждении использовал понятие параллельности прямых, если в его геометрии (как и в геометрии Римана) те-самые прямые, к которым только и возможно применить данное понятие, отсутствуют "как класс"? Если прямых в его геометрии быть не может, то и постулата "за прямые" тоже не может быть. И то же самое в геометрии Римана.

Но, если уж не быть таким привередным, можно снизойти до классиков и немного подкорректировать их утверждения пятого постулата, заменив слово "прямые" на слово "геодезические линии", а слово "параллельность" на слово "не персечение". Получится вполне пристойно.
Классическое утверждение Лобачевского звучит так:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Мы меняем его на корректную формулировку:

Через точку, не лежащую на данной геодезической линии, проходят по крайней мере две геодезические линии, лежащие с данной линией в одной поверхности и не пересекающие её.

Соответственно, в отношении Римана, корректная формулировка должна выглядеть так:

Через точку, не лежащую на данной геодезической линии, не проходит ни одной геодезические линии, лежащей с данной линией в одной поверхности и не пересекающей её.

При этом постулат Евклида с учетом поправок звучать должен так:

Через точку, не лежащую на данной геодезической линии, проходит не более одной геодезические линии, лежащей с данной линией в одной поверхности и не пересекающей её.

Понятно, что каждая из трёх формулировок является полным отрицанием остальных двух. Но у нас стоит задача найти общее доказательство всех формулировок, которое должно сводится к "вычислению" условий (кривизны поверхности), в которых реализация того или иного постулата окажется возможной.

В этом плане, соглашусь, моё "доказательство" действительно частное (снимаю шляпу ), поскольку изначально касается кривизны как поверхности, так и ГД (геодезических линий) - исключительно первого порядка. К сожалению, не математик, но сам принцип построения доказательства в общих чертах изложить, пожалуй, смогу.

По-идее, вместо уравнения первого порядка, надо использовать уравнения n-го порядка, а качестве среды - поверхности с кривизной +/-n-го порядка. И далее через нахождение условий не равенства Нулю их разности (геометрически - расстояния между ГД) определить требуемые математические параметры. Для геометрии Лобачевского должна быть вычислено условие отрицательности кривизны поверхности, для Римана - положительности, а для Евклида - нейтральности кривизны (нулевая кривизна).

С одной стороны, вы правы, моё "доказательство" нельзя принимать за таковое - ему сначала должен предшествовать математический вывод о нулевой кривизне поверхности и прямых как варианта ГД в этих условиях. И только потом продолжить тем, что было мною изложено. То есть, сначала требуется вычислить требования к кривизне поверхности для каждого утверждения, а потом показать, при каких параметрах ГД данное утверждение может быть реализовано.

Теперь, благодаря полемике с вами, я получил обоснованные сомнения в отношении этой "невозможности"...
....

Однако!
С другой стороны, всё, что провозгласил Евклид, априори касается только изотропной поверхности нулевой кривизны. Все его аксиомы применимы исключительно в данных геометрических условиях, а ни в каком не "в общем виде". Но тогда получается, что моё аналитическое "доказательство" - хотя бы как априорно-евклидово - можно считать корректным в той же мере и в тех же рамках, в которых исполняются и все остальные аксиомы Евклида. И это же утверждение ставит вопрос о корректности формулировок аксиом в иных геометриях. У Евклида свод его аксиом касается не любых поверхностей, а исключительно плоскости и прямых. Если же мы "не поступимся принципами" и продолжим требования к формулированию всех утверждений "в общем виде" для любых геометрий, то и всю аксиоматику "кривых геометрий" тоже надо переделывать под "общий вид".
Но проблема в том, что некоторые положения для разных геометрий будут звучать противоположно. Например, аксиома "Через каждые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом только одна" для "кривых поверхностей" априори не верна. Такой аксиомы там точно быть не может, поскольку через три точки можно провести великое множество кривых поверхностей. А как записать "в общем виде" утверждения "только одна" и "бесконечное множество", не представляю от слова "никак".

Короче, выводы получаются такие:

1) Аксиоматика "кривых геометрий" составлена некорректно - из них должны быть изъяты понятия "плоскость" и "прямая", с заменой их на "поверхность" и "геодезическая линия".
2) Аксиоматика разных геометрий не может быть составлена "в общем (универсальном) виде" - в виду фундаментального противоречия отдельных аксиоматических положений друг другу.
3) Любое аналитически корректное доказательство 5-го постулата в рамках текущего набора аксиом является доказательством в той же степени корректным, в какой корректен набор аксиом, в рамках которых он действует. Требования к доказательству вида более общего, чем свод аксиом, неправомерны.

Итого получается, что "доказательство" не только верное, но и достаточно полное? (срочно одеваю шляпу назад)

С чего Вы взяли, что человечки на сфере будут сжиматься? А если не будут?

Я уже говорил: во-первых, сумма углов треугольника будет меньше 180 градусов. Во-вторых, не удастся провести две прямые, между которыми будет сохраняться равное расстояние. В третьих, любая прямая рано или поздно замкнётся сама на себя. Когда они попытаются геометрически описать свой мир, они поймут, что живут на сфере.

Только сейчас я говорю не о сжимающихся человечках, а постоянного размера. Если сжиматься, как в Вашем описании, то никакой разницы с плоскостью нет — все треугольники дадут 180 градусов, параллельные прямые будут возможны и возвратиться в ту же точку по прямой будет нельзя. Но в том-то и дело, что наблюдаемые нами факты говорят об искривлении.

Например, искривление пространства в гравитационном поле уже обнаружено экспериментально: Эйнштейновское искривление пространства доказано окончательно. Если бы, как Вы предполагаете, человечки сжимались вместе с пространством, обнаружить искривление не удалось бы.

Может быть, и не может. Такое пространство, в котором живём мы и которое находится внутри пространства большей размерности, называется «брана». Но хоть мы и не видим высших измерений, есть математический аппарат, который описывает свойства нашего искривлённого пространства.

А может быть, и нет никакого внешнего пространства. Есть теория, что все измерения, кроме наблюдаемых четырёх, свёрнуты, то есть сжаты до микроскопических масштабов. Это как если бы плоскость свернулась в тонкую трубочку — она стала бы одномерной, на одну размерность меньше. Трёхмерное пространство свернулось бы в плоскость. А десятимерное пространство, в котором мы живём по одной из теорий, превратилось в четырёхмерное, потому что шесть остальных измерений свернулись. Тогда внешнего пространства попросту нет, наблюдать за нами некому.

Уравнения геодезических линий представляют собой не уравнения n-го порядка, а дифференциальные уравнения.