А_Ланов писал(а):
igrek писал(а):
Ну-ка, ну-ка. Можете доказать аксиомы?
Как бы это так сказать, чтоб не ввести в заблуждение…
Формально, да - речь идёт именно о доказательстве. Но, об аналитическом.
Я изложу его на след. неделе (даст Бог). Оно простое.
Проблема в ином. Но пока не буду ничем предварять, мне интересна ваша первая реакция. Оформлю статейкой….
Статья называется:
Диагноз: доказал 5-й постулат Евклида. Как известно, геометрия построена на геометрических аксиомах — первоначальных утверждениях, истинность которых принципиально не доказуема именно в виду их первоначальности. Однако, наряду с обычной начертательной геометрией, существует и её аналитическая «сестра» - раздел алгебры, описывающей все свойственные геометрии упорядоченности строго математически. При этом, аналитическая геометрия, поскольку является разделом математики, в специальных геометрических аксиомах не нуждается.
Возникает вопрос: нельзя ли использовать данное обстоятельство для доказательства геометрических аксиом не геометрическим, а аналитическим образом, не прибегая к геометрическим аксиомам?
Ниже следует описание такой попытки - аналитическим образом доказать 5-й постулат Евклида, одна из формулировок которого гласит:
Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Как известно, функции первого порядка в алгебре соответствует прямая в геометрии; совокупности значений функции — точка, а постоянству разности значений функций первого порядка при любых значениях аргумента — соответствует параллельность прямых. В данном «доказательстве» сначала выведено условие параллельности прямых как постоянства разности значения функций во всем диапазоне значений аргумента. Потом показано, что через точку лежащую на прямой, параллельной данной, нельзя провести такую же параллельную прямую так, чтобы она с ней не совпала.
Не смотря на простоту «доказательства» в данном случае имеется одна серьезная проблема, я бы даже сказал — фундаментальная. Но я не хочу пока её озвучивать, чтобы это не повлияло на критику...
Итак, временно забудем о геометрии, и о всех терминах, ей присущих и из неё проистекающих — точка, прямая, расстояние и пр. Считаем, что есть только математика и только математические термины — совокупность значений X и Y, функция первого порядка, разность значений функции и т. д.
Перефразируем 5-й постулат в терминах алгебры (сразу прошу обратить внимание: нет ли здесь ошибки?):
Любая, наперёд заданная совокупность значений (Xa; Ya) может принадлежать одной и только одной функции первого порядка, не имеющей общих значений X и Y с некоторой другой заданной функцией первого порядка.
Итак, дано:
1) две произвольных функции первого порядка:
f1(х) = Y
1 = k
1X + b
1 f2(х) = Y
2 = k
2X + b
2 2) И совокупность значений:
(Xa; Ya) ∈
f2(х) = Y
2 1. Сначала определим, возможно ли, и при каких параметрах k и b значения функций Y
1 и Y
2 не будут иметь общих значений Y при любых значениях аргумента X:
Y
1 ≠ Y
2 при X = [- ∞; + ∞]
Решение. Условие неравенства значений функций друг другу можно записать в виде неравенства нулю их разности :
Y
1 - Y
2 ≠ 0
Развернём данное выражение:
Y
1- Y
2 = (k
1X + b
1) – (k
2X + b
2) = (k
1X – k
2X) – (b
1 + b
2) = X(k
1 - k
2) + (b
1 - b
2) ≠ 0
Из выражения видно, что указанная разность значений функций не будет зависеть от Х и при этом не равна Нулю при выполнении двух условий:
k
1 = k
2, и b
1 ≠ b
2 Это и есть ответ на первую подзадачу: чтобы две разных функции не имели общих значений у них должны быть раВные значения k, и раЗные значения b. Соблюдение этих условий позволяет переписать обе функции в виде:
f1(х) = Y
1 = kX + b
1 f2(х) = Y
2 = kX + b
2 где b1 ≠ b2
Из данного решения вытекает следствие, что при равенстве коэффициентов k
1= k
2 = k и неравенстве параметров b
1 ≠ b
2 разность значений функций Y
1- Y
2 не только не равна Нулю, но ещё и постоянна во всем диапазоне значений аргумента X = [- ∞; + ∞], и равна разности b
1 – b
2 = const.
…...
2. Продолжим дальше - учтём произвольно взятую совокупность значений (Ха;Yа), принадлежащую функции Y
2 = k
2X + b
2 . Требуется определить возможность такой третьей функции
f3(х), которой принадлежит совокупность значений (Ха;Yа) (наряду с принадлежностью функции
f2(х)), которая удовлетворяет условиям первой задачи - не иметь общих значений с
f1(х) и при этом не быть равной
f2(х):
f3(х) = Y
3 = k
3X + b
3,
(Ха;Yа) ∈
f3(х)
(Ха;Yа) ∈
f2(х)
f3(х) ≠
f1(х) при X = [- ∞; + ∞]
f3(х) ≠
f2(х) <=> Y
3 = k
3X + b
3 ≠ Y
2 = k
2X + b
2Решение: Условие отсутствия общих значений с функцией f
1(х), как было показано выше, заключается в совокупности условий :
k
3 = k
1 = k , b
3 ≠ b
1 Тогда
f3(х) можно переписать в виде:
f3(х) = Y
3 = kX + b
3 Предположим, что функция
f3(х), удовлетворяющая указанным условиям, существует. Тогда из условия принадлежности совокупности значений (Ха;Yа) сразу двум функциям
f3(х) и
f2(х) рассмотрим обе функции при значении аргумента X = Хa. По условию должно быть:
Y
3 = Y
2 = Ya,
Тогда:
Y
3 = kX + b
3 = Y
2 = kX + b
2,
kX + b
3 = kX + b
2 b
3 = b
2 = b
В этом случае обе функции могут быть записаны в виде:
Y
3 = kX + b
Y
2 = kX + b,
Или: Y
3 = Y
2,
что противоречит условию
f3(х) ≠
f2(х)
Таким образом, любая заданная совокупность значений (Xа;Yа), принадлежащая некоторой заданной функции первого порядка, не может принадлежать любой другой подобной функции при любых значениях аргумента X, если их коэффициенты k равны, что в переводе на язык геометрии означает
невозможность существования двух прямых проходящих через одну общую точку так, чтобы обе оказались параллельны некоторой третьей прямой, и при этом не совпали друг с другом.....
Форматировал, форматировал, а при загрузке все прахом пошло - в привычно-приличном для математических записей виде изложить не получилось, извиняйте...