igrek писал(а):
Принципиальное отличие: в одномерном пространстве нет углов. А геометрия работает с углами, они упоминаются в аксиомах. Нет углов — нет геометрии.
Есть же геометрии и с другой аксиоматикой - например, без параллельных. А это будет "геометрия без углов" - чем не вариант? Надо только соответствующим образом подкорректировать аксиоматику - чтобы из неё вытекала только одномерная геометрия.
Так что, не факт. Правильнее говорить: "нет протяженности - нет геометрии".
Цитата:
А_Ланов писал(а):
Точка как множество «самой себя» тоже не прокатывает, поскольку означает «нулевое множество».
Нулевых множеств не бывает, бывают пустые множества.
Нулевые тоже бывают, см. английскую википедию: "в математическом анализе нулевое множество это множество, имеющее нулевую меру". Например, массив Нулей.
Но не суть, пусть будет пустое - это ничего не меняет.
Цитата:
Но одна точка — не пустое множество, это множество, состоящее из одного элемента.
Не тот "масштаб" рассматриваете. У вас точка - элемент множества. А речь идёт о точке как множестве "самой себя" - какое множество содержит в себе точка? Ответ: множество "ничего" - пустое множество.
"Внутри" точки нет геометрии. У круга, угла, линии - есть. У точки нет.
Цитата:
А_Ланов писал(а):
Вопрос: множество точек чего?
Точек этого одномерного пространства.
Это называется множеством "самого себя". В формализованном виде записывается так: Х = Х, 2 = 2 и т.д. "Любой объект тождественен сам себе" - есть даже такая аксиома (которую можно не объяснять).
Ну, и что? Это что-то даёт?
Вот вам три одномерных пространства:
Х
1, Х
2 и Х
3.
Каждое из них (как и вообще всё) является "множеством точек себя":
Х
1 = Х
1, Х
2 = Х
2 и Х
3 = Х
3Сможете на основании этой "исчерпывающей" информации ответить, какое из них является прямой, какое гиперболой, а какое синусоидой?
Похоже, вы опять путаете пространство, относительно которого можно описать принадлежащие ей геометрические объекты, с описанием самого пространства. В указанных одномерных пространствах вы можете описывать все возможные в них геометрические объекты, варианты которых ограничены отрезками, лучами и точками (последнее - в плане причисления к ГО - сомнительно). Можете измерять их длину, расстояния между ними, пропорции всякие - выбор не богатый, но есть. При этом описание их в каждом из "пространств" будет одинаковым - отрезок в синусоиде определенной длины будет "равен" такой же длины отрезку в гиперболе. Но из этого "внутреннего" описания нельзя будет узнать, что кусочки синусоиды это не совсем "то же самое", что отрезки прямой. То есть, нельзя судить о самом пространстве, чем именно оно в данном случае является - прямой, кривой и пр.
Чтобы это стало "видно", надо знать, множеством чего и каким именно являются все эти "одномерные пространства". Только в этом случае можно будет утверждать, что все они разные. А без этого исчезает сам геометрический смысл. Потому и идут споры о том, чем является наша Вселенная, изнутри этого не понять.
"Лучший отдых - растолковывать общеизвестные истины" (братья Стругацкие)
...
Цитата:
А_Ланов писал(а):
Объявление ГО множеством точек самого себя, вроде Х = Х, так же лишено смысла.
Любое подмножество всегда само является множеством, поэтому если рассматривать его отдельно, то такое объявление не лишено смысла. Все точки объекта являются элементами множества, которое составляет этот объект.
Следите за руками:
1. Есть числовой ряд от Нуля до бесконечности.
2. Есть множество простых чисел в диапазоне от 0 до 10: {1, 2, 3, 5, 7}
Данное множество простых чисел есть подмножество числового ряда. Не будет числового ряда - не сможет существовать и его часть, оно же подмножество.
Другой пример, из жизни:
- "На первый-второй рассчитайсь!"
- "Первый, второй, первый, второй....." - у вас появилось два подмножества, четные и не четные.
Теперь попробуйте представить то же самое, но без людей.
Цитата:
А_Ланов писал(а):
Ну, пусть наша Вселенная оказалась 3-мерной сферой — поверхностью 4-мерного шара. А сам шар? Он же должен находиться в 4-мерном пространстве (как минимум).
Самого шара может не быть, есть только его поверхность, трёхмерная сфера. Поэтому просто нечему находиться в 4-мерном пространстве.
Вы скатываетесь в "мыслительный материализм". В пространстве, и правда, может ничего не быть. Но само-то пространство тут причём? Тем более, речь о геометрии. Выберите мысленно точку (она же - центр) в пространстве, мысленно же представьте радиус-вектор, и так же мысленно представьте множество всех точек, которые может занимать конец этого вектора. У вас получится сфера - воображаемая. Не материальная, а исключительно "информационная" - представленная в Сознании в соответствующих его феноменах. Мы, вообще-то, об этом говорим. Шаром же окажется множество всех точек пространства между выбранным центром сферы и "множеством точек радиус-вектора".
Подчёркиваю, пространство пустое, ничего в нём нет. Мы просто мысленно обратили внимание на часть точек пространства, соответствующих указанному порядку выборки. Не будет пространства - не будет и "выборки" из него. Это ещё раз к вопросу существования множества элементов без массива этих элементов (или каждого второго в очереди без самой очереди).
Это ответ и на следующее ваше возражение:
Цитата:
Даже если наше пространство гомеоморфно не трёхмерному тору, а поверхности четырёхмерного мяча, то есть трёхмерной сфере, это ещё не значит, что у него обязательно должно быть «над-пространство». Хоть сам мяч и четырёхмерный, его поверхность трёхмерна. Не факт, что кроме самой поверхности от этого мяча есть ещё что-нибудь в четвёртом измерении.
Да, "чего-то" может и не быть. Но само 4-мерное пространство быть обязано, ибо 3-мерная сфера - множество именно его (4-мерного пространства) точек.
Цитата:
А_Ланов писал(а):
Объяснять, что для n-мерной сферы необходимо как минимум (n+1)-мерное пространство, надеюсь, не придется.
Для абстрактного математического описания — не придётся, это завязано на наше мышление.
Скорее, на формальную логику. Наше воображение ограничено 3-мя измерениями - ровно на столько богато наше Сознание, равно как и на 7 основных цветов - никакого нового цвета, кроме компиляции "воспринимаемых", мы себе представить не можем. Но предположить, что какое-то существо может обладать большим "цветовым набором" - вполне доступно. Так же и с мерностью.
Цитата:
Для реального существования (n+1)-мерного пространства — придётся, причём без надежды на успех.
Чего так пессимистично? Надеюсь, выше я вам всё-таки объяснил - через множества и подмножества, пространства и подпространства (а также, через очереди и места в них).
Цитата:
Это как координатная сетка: описывать пространство с её помощью удобно, но вряд ли можно доказать её существование в реальности.
А в реальности её и нет! Координатная сетка - исключительно информационное порождение. Мысленное, если быть точным.
Цитата:
А_Ланов писал(а):
И это (акцентирую специально для вас) официальная точка зрения, доказанная строго математически — для всех мерностей, включая и 1-мерную кривую. То есть, любое пространство любой мерности, может существовать только как подпространство — как множество точек пространства большей мерности.
Где и кем это доказано, да ещё и строго? Чем акцентировать, лучше бы цитату привели с этой «официальной точкой зрения» и её доказательством.
Наверное, я всё-таки не корректно выразился. Не на то акцент сделал.
Когда "строго доказывали", факт принадлежности рассматриваемого пространства пространству большей мерности даже не обсуждался - это так "по-условию". Равно как и не обсуждается факт наличия числового ряда, из которого, скажем, производят выборку простых чисел. Доказывать требуется алгоритм - ту же теорему Ферма, например, что она верна для любых чисел. Но сам факт наличия чисел сомнению не подвергается - это то, благодаря чему может существовать сама теорема. Нет чисел - нет и теоремы Ферма.
Не надо связывать своё мышление попытками представить себе все эти n-мерные пространства "во-очию". "Заткнись и считай" - этого принципа вполне достаточно. Если вам что-то не представляется возможным, а логически, тем не менее, всё корректно, значит, это просто предел ваших возможностей "представлять". Математика тем и хороша, что для решения своих задач не требует пространственного воображения. Понятно, что с геометрией всё посложнее - трудно абстрагироваться от реальности, когда сама геометрия является её частью. В геометрии вместе сошлись абстракция и реальность - математика и феномен Сознания (протяженность). Поэтому сложно, с одной стороны, рассуждать математически, и одновременно бороться с ущербностью воображения, навязывающей свои ущербные требования. Возьмите те же фотоны - к феномену цветности из них имеет отношение лишь микроскопический диапазон. Но это не мешает нам оперировать любыми из них в физических формулах. Не надо связывать себя феноменом Сознания - цветностью. Так же и с геометрией - не надо связывать себя воображением, и всех делов.
Кстати, о птичках. Я привел в пример числовой ряд как массив, из которого по тому или иному критерию можно выбирать те или иные множества (чисел). Бесконечный числовой ряд здесь выступает в качестве такого "супермножества". Так вот в геометрии аналогом такого "супермножества" является бесконечно-мерность. Как все возможные множества чисел "находятся" в их числовом ряде, так и все возможные n-мерные пространства - в их бесконечно-мерности.
С множествами, вообще-то, тоже не всё ясно - там хватает своих аксиом и "интуитивно-понятных", но не определенных понятий. Видимо, не случайно А. Савватеев назвал топологию ядром математики. Единственная проблема - состыковать эту абстракцию с реальностью. По текущим представлениям естественно-научного мировоззрения в мире не может быть ничего идеального. Всё должно быть конечное, предельное, ограниченное и т.д. - то есть, "естественным". У всего должен быть размер, масса и пр. физические характеристики. А всё, что не укладывается в эти рамки, отнесено к "сверхъестественному" и признано невозможным. Невозможен, например, материальный объект с "нулевыми размерами", невозможны явления с нарушением законов сохранения, и наверное, что-то ещё в том же духе. Не сказать, что такие ограничения позволяют все корректно описать. Например, для гипотезы Большого взрыва потребовался "исходник" - Сингулярность - с принципиально идеальными свойствами. Но это не поколебало "стойкость" учОных - умение "привыкнуть" сейчас востребовано более, чем умение "понять".
Применительно к данной теме аналогичная ситуация возникает и с бесконечно-мерностью пространств, необходимых для реального (а не математического) существования хотя бы 1-мерного пространства. С математическим описанием проблем нет. Математика не относится к материи - это, так сказать, "информационный объект", а информация, она идеальна "по определению". Бесконечный числовой ряд? Не вопрос! Но как быть с бесконечно-мерностью пространств с идеальной величиной, в одном из которых мы "вложены" вполне материально?
А никак! Либо допустить абсурд (для удобства, чтобы не ломать "удобную религию" (зачеркнуто) удобное мировоззрение), либо исходить не из материальности Мира, а из его информационности. Принять Мир за чисто информационное порождение, "материально" преобразованная в феноменах Сознания. Информация, проникая в Сознание, создаёт в нём полное "ощущение" материального бытия, повторяю, через феномены Сознания. Вот тогда все становится непротиворечивым.
Вот такое "вселенское" оказывается значение у утверждения о невозможности существования пространства иначе как под-пространства. Но для принятия его требуется ломка мировоззрения. А это - самое трудное...
Цитата:
А_Ланов писал(а):
Может, вы сможете отыскать истоки этого утверждения?
Неинтересно.
Понимаю, отстаиванию своей позиции это не способствует.
Эх, слаб человек...