malchish.org

Изнутри — да, разницы не увидишь. Разница видна, только если они внутри другого пространства, и если смотреть снаружи.

Кстати, если плоскость свернуть в цилиндр или в конус, поверхность останется евклидовой, разницы не заметишь, если только не сделаешь полный оборот по диаметру или не уткнёшься в вершину в случае конуса. А трёхмерное пространство можно свернуть в трёхмерный тор, и оно тоже останется евклидовым. Правда, тогда оно уже не будет бесконечным. Очень похоже на то, что мы живём именно в таком, поскольку оно ограниченное и при этом, судя по последним научным данным, евклидово.

Вопрос был несколько иным: одно и то же? или нет? "Не видно" и "одно и то же", согласитесь, вещи разные...

Ладно, скажу по-другому, никаких «видно» или «выглядит». В одномерном пространстве это одно и то же. В пространствах других размерностей не одно и то же.

Игрек, мне вас уже жалко. На какую же ломку логики приходится идти, дабы отстоять существование объектов "в себе".
Вот уже и парабола стала равна прямой...
Может, таблицей умножения займёмся?

Вы не передёргивайте, в двумерном пространстве не стала она прямой. А в одномерном нет никаких ни прямых, ни парабол, поэтому там одно и то же.

Для дальтоника зелёный и красный цвет — одно и то же, он их не различает. Но это не значит, что зелёный цвет стал равным красному. Так что демагогией занимаетесь, товарищ Аланов. Этот приём называется «Передёргивание и доведение до абсурда», п.2.3.а.

Я даже знаю, чем это закончится. Когда я покажу, что в троичной системе счисления 2x2 будет 11, Вы заявите, что «вот уже и 4 стало равно 11». При желании до абсурда можно довести что угодно.

То есть, кривая не может не быть в пространстве большей мерности, так? Я правильно вас понял?Что именно "одно и то же"?Не надо так далеко "прогнозировать" - я всего лишь ограничусь указанием на разницу смыслов, скрывающихся под одним и тем же изображением.

Да. В отличие от плоскости и прочих пространств большей размерности, кстати — там можно определить искривлённость по нарушению пятого постулата. Либо по замкнутости — ибо если плоскость свёрнута в цилиндр, то пятый постулат не нарушается, пространство остаётся евклидовым, но обнаружить замкнутость можно, когда при движении возвращаешься в ту же точку.

Одно и то же значит, что разницы между кривой и прямой изнутри заметить нельзя. Но если одномерное пространство поместить в двумерное, то будет не одно и то же. А в одномерном разницы заметить нельзя, одно и то же.

По-моему, всё логично.

То есть, кривая это одномерный геометрический объект, и она является не множеством точек самой себя, а множество точек (мест, если угодно) пространства большей мерности - плоскости, пространства, "далее везде". Так и запишем! Смотрите, вы опять возвращаетесь к использованию восприятия в качестве геометрического критерия. Парой постов выше вы уже писали: Потом отказались от него: И теперь снова вернулись (вынужденно) к использованию фактора восприятия:
Я, кстати, не против.
Но, между нами, это говорит о том, что геометрия субъ-ек-тив-на. Без критерия восприятия "прямость" и "кривость" не имеют смысла. Для одномерных жителей с эвклидовой моделью одномерного восприятия все кривые и прямые являются эвклидовыми прямыми.

И, заметьте, Игрек - "не я это сказал"! Но это всё в копилку того, что геометрия это проекция математики на феномен сознания - "протяженность", "промодулированная" математикой. По-моему, тоже.
"Консенсус есть продукт полного непротивления сторон" (не помню, кто сказал)

Нет, конечно. Тут требуется уточнение, с какой точки Вы смотрите. Если с точки зрения плоскости или ещё какого-то пространства, в которой эта линия находится — то да, это множество точек (точнее, подмножество) плоскости, пространства, "далее везде". Если с точки зрения самой кривой, которая существует сама по себе, без какого-то внешнего пространства — то для неё нет разницы, что кривая, что прямая.

У жителей одномерного пространства не может быть никакой евклидовой модели. Для них любое незамкнутое пространство одинаково. Евклидова модель может быть только у жителей двумерного или большей размерности пространства.

Согласие есть продукт. «Хорошо излагает, собака, − шепнул Остап».

Однако, здравствуйте! (С)Ну, вот. Можно сказать, что наконец-то мы подобрались к сути «философской проблемы геометрии». В результате длительной (но плодотворной) полемики «внезапно» выяснилось, что геометрия без наблюдателя теряет смысл. Без восприятия её Сознанием «геометрия протяженная» вырождается в «геометрию аналитическую», то есть в «чистую» математику. А математика, как информационно-описательная часть геометрии, умопостигаема без необходимости использовать понятие протяженности.

Но даже математическое описание геометрии - несмотря на предельную однозначность, которую может демонстрировать математика как «описательная» дисциплина - работоспособно лишь «снаружи» геометрии. При этом, та же математика одновременно объясняет, почему дела обстоят именно так (вспомним за Гёделя). Но суть дела от этого не меняется:
Всякий геометрический объект - плоскость, пространство, фигура и пр. - могут быть описаны лишь как подмножество некоего множества (или под-пространство некоего пространства) - как Часть относительно Целого.

Обратное возможно лишь частично. Относительно Части можно описать только некоторые свойства Целого – те, которые является «экстраполяцией» внутренних свойств. То есть, на основе изучения Части можно понять лишь некоторые «внутренние» свойства Целого. Для описания же Целого необходима внешняя по отношению к Целому «точка опоры». Собственно, это и вытекает из теоремы о неполноте:

Являясь частью системы нельзя доказать её наличие, равно как и её отсутствие.

Применительно к нашему примеру данное обстоятельство будет проявляться в том, что жители пространств любой мерности не смогут его описать "изнутри", несмотря на то, что им известны его внутренние свойства. Потому и гипотетические одно-мерные жители кривых не просто не увидят кривизны, но даже догадаться не смогут о существовании такого геометрического понятия, как «кривая».

Тем не менее, аналогично нам они вполне могут доказать и свою-собственную «теорему Пуанкаре в общем виде» (для любой мерности), из чего последует, что воспринимаемый ими мир «обязан» быть подмножеством Мира большей мерности, поскольку существовать может исключительно как гомеоморфная его проекция. То есть, их «прямая» в этом случае должна будет иметь «прообразом» некоторую кривую (например, гиперболу), что априори предполагает её существование как минимум в плоскости.

Но самое интересное другое - их «прямой» вовсе не обязательно существовать на самом деле. Для этого им достаточно иметь всего лишь «прямое» восприятия этой кривой. Вот оно-то, восприятие это, и будет той-самой гомеоморфной проекцией реальной кривой. То есть, под «образом» их Мира в их Сознании может скрываться всего лишь факт недо-восприятия одномерными жителями кривизны своего мира. Они могут прекрасно жить «внутри» какой-нибудь гиперболы, и при этом воспринимать её прямой, которая, естественно, этой гиперболе гомеоморфна. То есть, не требуется никакой реальной «прямой в плоскости»! Вполне достаточно находиться внутри кривой, но иметь одно-мерное её внутреннее восприятие - и быть полностью уверенными в существовании внутри прямой!

Подведя промежуточные итоги, вот какие выводы в связи с этим напрашиваются в отношении геометрии:
1. Есть собственно геометрическая реальность, и есть восприятие этой геометрической реальности в Сознании.
Здесь мы никакого открытия не сделали, а всего лишь немного перефразировали Канта — реальность как ноумен, а её восприятие - как феномен (а «мы» - чтобы разделить ответственность ). Принципиально это то же самое, как длина волны фотона и цвет — первое это реальность, второе — её восприятие..
2. Восприятие реальности не позволяет понять, чем в реальности является эта-самая Реальность. Но по совокупности внутренних признаков (например, некоторых закономерностей в физических явлениях) можно понять, что восприятие Реальности как минимум гомеоморфно самой реальности.

Короче, есть Мир реальный, и есть его Миро-восприятие - то, как мы его «видим» в Сознании. Не факт, что этот Мир нами воспринимается полностью. Вполне возможно, что мы "видим" лишь какую-то его часть. Но мало того - сама эта «воспринимаемая часть» к тому же ещё и воспринимается «усеченно». И про эту «усечённость» мы можем сказать лишь то, что результат восприятия этой «усечённости» гомеоморфен той реальной части Мира, которую мы в состоянии воспринять.
И на этом — всё. Чем же Мир является в реале, мы можем только гадать. Поясню это на рисунке:



Экстраполируя этот принцип на нашу 3-мерную обыденность, можно сказать, что Мир может представлять из себя многомерную конструкцию любой мерности и любой геометрии. Но его восприятие нами оказывается 3-мерным и евклидовым просто потому, что таковы законы формирования в нашем Сознании феномена Протяженности - они соответствуют 3-мерной евклидовой метрике. Если совсем коротко — наше Сознание евклидово, оттого мы Мир таким и видим.

Таким образом, теорема Пуанкаре, кроме всего прочего, может описывать принцип связи между действительным положением дел и восприятием этой действительности Сознанием, который заключается в гомеоморфности.

Применительно к данному примеру для мерности n=1 теорема Пуанкаре покажет тамошним одно-мерным жителям, что в действительности их «прямая» может оказаться не столь уж и прямой. Ввиду одно-мерности своего восприятия, они не смогут себе этого вообразить, и назовут эту реальную кривую какой-нибудь «двумерной прямой» (по аналогии с нашей 3-мерной сферой). Но математика им в помощь – её математическое описание будет столь же адекватным.

То есть, ещё раз повторюсь, «видимая» ими прямая может оказаться результатом их же недо-восприятия - когда возможности формирования феномена протяженности в Сознании ограничены только 1-мерным «исполнением». Но благодаря математике даже с таким «недо-восприятием» можно понять, что мир должен быть более, чем 1-мерен.

На этом пока прервусь, дальше будет ещё чудесатее, ибо возникает мысль, что для "видимости" Мира ему вовсе не необходимо быть в реальности именно Миром. Достаточно того, чтобы в Сознание проникала описательная его часть - "чистая" математика, информация, которая будет "модулировать" феномен протяженности с появлением в Сознании полного ощущения существования в протяженном Мире. И самое интересное, что этот вариант оказывается самым обоснованным, а все "вещественно-материалистические" его варианты, напротив, абсурдными...

Не выяснилось. Только для одномерного пространства геометрии нет. Для размерности два и больше геометрия прекрасно существует и имеет смысл даже без внешнего наблюдателя.

Это не теорема о неполноте, и это не вытекает из теоремы о неполноте.

Если наблюдателя нет, то "имеет смысл" - для кого?
Если для вас, то вы вместе с Алановым один хрен - внешние наблюдатели.

Если внешнего нет. Внутренний предполагается, что есть.

Наверное, надо каждый пост предварять «кратким содержанием предыдущих серий». Напомню, что когда мы говорим о пространстве, то речь идет о нём как об «определенном множестве точек». А для этого должны быть два условия — из чего их «определять», и как их «определять».
Кстати, вы, ведь, так и не объяснили, почему для 1-мерного пространства делаете такое исключение. Чем принципиально отличается 1-мерное пространство от 2-, 3- и т.д. «- мерных»?

Приведу самый элементарный пример. Будем исходить из самого простого геометрического понятия — точки, и использовать сразу два её определения— как «места», и как «нуль-мерного» объекта.
Понятно, что место может быть только в чем-то — место в очереди, место за партой и т.д. «Просто места» быть не может, как не может быть места в очереди без самой очереди. То же самое и для точки как «нуль-мерного» объекта. «Нуль-мерный» объект сам по себе не существует — если нет мерности, нет и самого геометрического объекта (как протяженности). Дословно, «нуль-мерный» объект это «не существующий» объект. Точка как множество «самой себя» тоже не прокатывает, поскольку означает «нулевое множество».

То есть, для существования точки должно быть хотя бы 1-мерное пространство — на одну мерность больше, чем сама точка. Тогда точка будет указывать место в этом пространстве. Но само 1-мерное пространство тоже ничто иное, как «множество точек». Вопрос: множество точек чего? Объявление ГО множеством точек самого себя, вроде Х = Х, так же лишено смысла — это неизвестно что, к нему нельзя применить ни математику, ни, тем более, геометрию. Числовую прямую в этом случае нельзя будет отличить от числовой "кривой".

Живой пример - наша трёхмерная жизнь. Изнутри мы видим лишь 3 измерения, соответствующих евклидовому порядку. Но чем является Вселенная в целом, сказать не можем. Теорема Пуанкаре на этот вопрос тоже не отвечает. Но её ценность в том, что на основании данных о внутренних геометрических свойствах Вселенной эта теорема позволяет сузить набор предполагаемых вариантов её «внешнего устройства» до некоторого набора ограничений. Блягодаря теореме Пуанкаре теперь достоверно известно, что наша Вселенная не может быть многомерным тором, или какой-нибудь многомерной «лентой Мёбиуса». «Ближайший» набор её возможных состояний ограничен множеством геометрических объектов, гомеоморфных 3-мерной сфере — поверхности 4-мерного эллипсоида, 4-мерного «чемодана» и пр.

Но даже в этом случае вопрос об «окончательном устройстве» - о «высшей геометрии» - не снимается. Ну, пусть наша Вселенная оказалась 3-мерной сферой — поверхностью 4-мерного шара. А сам шар? Он же должен находиться в 4-мерном пространстве (как минимум). Тогда следующий вопрос, множеством точек чего является это 4-мерное пространство? И этот вопрос транслируется далее в бесконечность, что ставит вопрос о материальности Пространства — бесконечно-мерность это уже «божественный размер», с естественно-научной точки зрения - явление «сверхъестественное».

На эту тему рекомендую посмотреть ролик, где А. Савватеев популярно объясняет значение теоремы Пуанкаре. На 9:45 он прямо говорит, что из этой теоремы следует, что любое трёхмерное многообразие обязано быть поверхностью 4-мерного «мяча». То есть, речь о том, каким именно должно быть «над-пространство», частью которого является данное пространство при наличии в нём гомеоморфности. Вопрос же о необходимости самого «над-пространства» тут даже не ставится! — настолько это понятно. В общем виде, для пространств любой мерности, это же утверждение содержится в «Обобщённой гипотезе Пуанкаре»:
Всякое n-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

Объяснять, что для n-мерной сферы необходимо как минимум (n+1)-мерное пространство, надеюсь, не придется. И это (акцентирую специально для вас) официальная точка зрения, доказанная строго математически — для всех мерностей, включая и 1-мерную кривую. То есть, любое пространство любой мерности, может существовать только как подпространство — как множество точек пространства большей мерности. Выявление гомеоморфности позволяет лишь сузить число возможных его вариантов, но необходимость наличия для этого "среды" с большей мерностью - это математический факт.

Что касается «существования геометрии без наблюдателя».

Допускаю, что без наблюдателя может существовать математика. Но не в виде формул и цифирей, а непосредственно как Порядок. То, что является математикой, это формализация нами этого Порядка через его «информатизацию» - как способ описания.

Говоря же о геометрии, следует различать собственно «геометрию протяженную» и её математическое описание. Вот, последняя, возможно, и может существовать в непосредственном виде (как Порядок). Но все, что касается феномена протяженности, который в совокупности с феноменом длительности дает нам ещё и физику — без наблюдателя исчезает. А как иначе, если окружающий Мир мы «видим» именно в этих феноменах? Мы не можем сказать, чему в Реальности соответствует феномен Протяженности и Длительности, которые в Сознании. К тому же задача усложняется до невыполнимости тем, что все остальные феномены — звук, цвето-яркость и пр. - проецируются на эти два базовых феномена. То, что мы понимаем, чему соответствует в Реальности феномен цветности, нисколько не приближает нас к пониманию, что такое фотон, ибо он сам является проекцией «чего-то» на феномен Протяженности (как градиент) и феномен Длительности.

В целом получается, что нет оснований считать, что снаружи Сознания есть осязаемый материальный мир, поскольку последний - в том виде, как мы его «ощущаем» - является всего лишь совокупностью феноменов Сознания. Именно так - "нет оснований", ибо "чюйства" не в счёт. Для этого вовсе не обязательно этому «миру» быть в материальном исполнении — достаточно высоко-корректной информации, поступающей в Сознание и соответствующим образом «модулирующей» феномены Сознания так, что у нас возникает полное ощущения «материальности жития».
Ну, и, плюс, необходимость бесконечно-мерности пространств как условия существования геометрического Мира, так же вызывает скепсис.

При этом все нестыковки исчезают при предположении, что «снаружи» Сознания есть только Информация. Тогда все складывается — и бесконечно-мерность становится возможной, и фундаментальная «нематериальность» материи (о которой мы говорили раньше) тоже становится понятной и объяснимой.
Обыскал весь интернет - не смог найти, откуда это утверждение. Давно читал, врезалось в память - именно как следствие теоремы Гёделя. Часто вспоминаю, но из какой области знаний, сказать не могу. Само выражение интуитивно понятно - не выйдя за пределы, нельзя определить границу. Может, вы сможете отыскать истоки этого утверждения?

Принципиальное отличие: в одномерном пространстве нет углов. А геометрия работает с углами, они упоминаются в аксиомах. Нет углов — нет геометрии.

Нулевых множеств не бывает, бывают пустые множества. Но одна точка — не пустое множество, это множество, состоящее из одного элемента.

Точек этого одномерного пространства.

Любое подмножество всегда само является множеством, поэтому если рассматривать его отдельно, то такое объявление не лишено смысла. Все точки объекта являются элементами множества, которое составляет этот объект.

Неизвестно. Потому что нет достоверных данных, что Вселенная удовлетворяет всем критериям теоремы — в частности, замкнутости и односвязности.

Самого шара может не быть, есть только его поверхность, трёхмерная сфера. Поэтому просто нечему находиться в 4-мерном пространстве.

Вы упустили одно условие, о котором Савватеев говорит буквально за минуту до 9:45: односвязность. Но нет никаких данных о том, что наше пространство односвязное (об этом, кстати, Савватеев тоже говорит). Очень может быть, например, что оно — трёхмерный тор. Эта гипотеза лучше всего описывает имеющиеся данные о том, что пространство конечно и при этом евклидово. Теорема Пуанкаре к нему не имеет отношения.

Даже если наше пространство гомеоморфно не трёхмерному тору, а поверхности четырёхмерного мяча, то есть трёхмерной сфере, это ещё не значит, что у него обязательно должно быть «над-пространство». Хоть сам мяч и четырёхмерный, его поверхность трёхмерна. Не факт, что кроме самой поверхности от этого мяча есть ещё что-нибудь в четвёртом измерении.

Для абстрактного математического описания — не придётся, это завязано на наше мышление. Для реального существования (n+1)-мерного пространства — придётся, причём без надежды на успех. Это как координатная сетка: описывать пространство с её помощью удобно, но вряд ли можно доказать её существование в реальности.

Где и кем это доказано, да ещё и строго? Чем акцентировать, лучше бы цитату привели с этой «официальной точкой зрения» и её доказательством.

Неинтересно.